Chapter 3 Quotient Group and Homomorphism

额外参考了奶龙博客

陪集

子群 $H \leq G$ ，对于 $g \in G$ ， $g H$ 称为 $H$ 在 $G$ 中的一个左陪集。陪集运算是一种具有良好性质的集合乘法。

研究 $H$ 的左陪集和其代表元之间的关系，以下的性质本质上都是子群集合在集合乘法中对于子群元素的吸收性。

$\forall a \in b H, a H = b H$ （陪集的所有代表元恰好是其所有元素）。证明： $a \in b H \Leftrightarrow \exists g \in H, a = b g \Leftrightarrow a H = b g H = b H$ 。
$a H = b H \Leftrightarrow a b^{- 1} H = H \Leftrightarrow a b^{- 1} \in H$ （利用代表元判断两个陪集相等的充要条件）

研究 $G$ 中 $H$ 的所有左陪集 $G / H = {g H ∣ g \in G}$ 的组成关系：

关系 $a \sim b \Leftrightarrow a H = b H \Leftrightarrow a b^{- 1} \in H$ 是一个等价关系，按照该关系可以将 $G$ 写为若干互不相交的的 $H$ 的左陪集并。
$H$ 的所有左陪集的势均为 $| H |$ 。所以可以建立映射 $f : G \to {g H ∣ g \in G}, g \mapsto g H$ 满足所有纤维等势 $H$ ， $Im f$ 的势就是 $H$ 在 $G$ 中左陪集的数量 $[G : H]$ 。有限的情况下 $[G : H] = | G | / | H |$ 。

研究 $G$ 中不同陪集在 $G$ 作用下的变换关系：
Chapter 4 Group Action#陪集族上的左乘作用、

研究陪集本身是否保持了群的对称性（是否是子群）：

陪集 $g H$ 形成子群 $(g H) (g H)^{- 1} = g H H^{- 1} g^{- 1} = g H g^{- 1} = g H$ ，这意味着 $g = e$ ， $H$ 的任意非 $e$ -陪集族只有 $H$ 一个子群。
$g H$ 相对于 $H$ 而言，以群作用的视角来看，使最终的结果多偏移了 $g$ （但这并不意味着群作用的结果会改变）